[转载]勾股定理与勾股数趣谈
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原文地址：勾股定理与勾股数趣谈作者：冰水晶
勾股定理与勾股数趣谈
一、千古第一定理——勾股定理
三角形是平面几何中最简单的直边封闭图形，许多平面图形乃至立体图形的计算和应用都可以归结为三角形来解决。而在三角形中，直角三角形是一类极端重要的特殊三角形，也是人类最早认识和感兴趣的一类三角形，任何三角形都可以分解为两个直角三角形。关于直角三角形三边长度的关系，我们有著名的勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和，即反过来，三边满足上述关系的三角形，也一定是直角三角形。这是人类认识最早、关注最多、应用最广的一个定理，可以说是千古第一定理。在西方，传说这个定理是由古希腊的著名学派——毕达哥拉斯（Pythagoras,
约公元前580—公元前500）学派发现的，因而被称为毕达哥拉斯定理。其实，有许多真凭实据表明，早在毕达哥拉斯之前，许多民族都在一定程度上发现了直角三角形的这一重要关系，相反，毕达哥拉斯的发现仅仅是一种传说。“毕达哥拉斯定理”之名之所以得以公认，是因为现代数学与科学来源于西方，西方数学与科学来源于古希腊，而古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而《几何原本》中的许多定理被追索到毕达哥拉斯的头上。
作为三角形的三个边长，其数值可以是任意正实数，然而，人们更关心的是边长为整数的情况。西方人把满足的三整数组（）称为毕达哥拉斯数组，我们称之为勾股数（组）。
勾股定理作为数学中的第一个重要定理，被人们认为是几何学的两大宝藏之一，已公开发表的证明方法超过三百七十种——卢米斯（Loomis）在他的《毕达哥拉斯定理》第二版中，收集了勾股定理的370种证明方法并加以分类，可以说是证明方法最多的一个定理，其重要性是不言而喻的。
归纳起来，勾股定理的重要性主要体现在
1) 勾股定理是联系数学中最基本也最原始的两个对象——数与形的第一定理，没有勾股定理，也就没有平面上两点间距离公式，也就更不会有一般欧几里得空间上两点间距离公式，也就不会有微积分，不会有一般度量空间的概念与理论，也就没有数学的今天；
2) 勾股定理导致了不可通约量的发现，深刻揭示了数与量的区别，导致了无理数的发现，完善了实数系统；
3) 勾股定理开始把数学由实验数学（计算与测量）阶段转变到演绎数学（推理与证明）阶段；
4) 勾股定理的三边关系式是最早得到完满解答的不定方程，它也导致了包括费马大定理在内的各式各样的不定方程的研究。
二、勾股定理的历史
作为几何学的两大宝藏之一，勾股定理在古代世界各民族的实践活动中都不同程度地得到认识。在号称四大文明古国的中国、印度、埃及、巴比伦，都有确凿的证据表明，他们对勾股定理有一定程度的认识。值得特别提出的是古代中国和古巴比伦。
在古代中国，成书于公元前1世纪左右的《周髀算经》，是一部较早记载勾股定理的著作。那里记载了,在公元前1100年左右,周武王的弟弟周公姬旦求教当时的学者（官居大夫）商高如何测量天有多高、地有多大时，商高提供了被称为“勾股术”的测量方法：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一（泛指数学计算）。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。……
”意思是说，在方尺上截取勾宽为三，股长为四，则这端到那端的径长（弦长）为五。从这里可以看到，我国人民那时就已掌握了直角三角形勾三、股四、弦五的基本规律，因此我国人民又称勾股定理为“商高定理”。《周髀算经》中还记载了陈子（公元前6-7世纪人）测量地球到太阳距离是提到：“勾股各自乘，并而开方除之，得斜至日”，这应是对勾股定理的完整叙述。在中国后来的其它数学著作《九章算术》、《缉古算经》等中，还记载了其它一些具体的勾股数并有一定的讨论。公元三世纪初，我国数学家赵爽（字君卿）在《周髀算经注》中给出了勾股定理的一般形式和几何证明，其中还附了一张证明勾股定理的“弦图”。
最令人吃惊的是，在1945年，人们对古巴比伦留下的一块泥板文书的研究中发现，那里竟清楚地记载着15组勾股数（如下图），该泥板现收藏于美国哥伦比亚大学。据考证，泥板文书的年代在公元前1900—公元前1600年之间，这表明，古巴比伦人认识勾股定理至少有将近4000年的历史了。
x
119
3367
4601
12709
65
319
2291
799
481
4961
45
1679
161
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56
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120
3456
4800
13500
72
360
2700
960
600
6480
60
2400
240
2700
90
z
169
4825
6649
18541
97
481
3541
1249
769
8161
75
2929
289
3229
106
三、从几何观点看勾股定理
勾股定理是联系数学中最基本也最原始的两个对象——数与形的第一定理，它包含几何与数论两个方面。在几何方面，一个正实数的平方代表了以此数为边长的正方形的面积，而勾股定理表明，以直角三角形斜边长为边的正方形的面积等于分别以两直角边为边的正方形的面积之和。这一思想引发了勾股定理的多种几何证明，《几何原本》中的命题47中给出的证明是这一定理有记录的第一个证明，其方法就起源于这一思想。许多几何证明是形象直观的
